**The Cauchy-Schwarz Inequality**\
$$\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)$$



3. **转换为秒**：

每分钟有60秒，因此每秒的功率为：

\[
P_{\text{average}} = \frac{70560 \text{ J}}{60 \text{ s}} = 1176 \text{ W}
\]



在 Markdown 中，可以使用美元符号 `$` 来包围 LaTeX 数学公式。对于你提供的公式，可以这样写：
$$
P_{\text{average}} = \frac{70560 \text{ J}}{60 \text{ s}} = 1176 \text{ W}
$$

```markdown
$$
P_{\text{average}} = \frac{70560 \text{ J}}{60 \text{ s}} = 1176 \text{ W}
$$
```

如果你希望在行内显示，可以使用单个美元符号：

```markdown
$P_{\text{average}} = \frac{70560 \text{ J}}{60 \text{ s}} = 1176 \text{ W}$
```

这两种方式都可以在支持 LaTeX 的 Markdown 渲染器中正确显示数学公式。



# 输出功率分析

在动力学中，输出功率的计算公式为：

$$
N = F \cdot V
$$

其中：
- \(N\) 是输出功率
- \(F\) 是牵引力
- \(V\) 是速度

### 即时功率与平均功率

1. **即时功率**：当将工作机在某一时刻的即时牵引力和速度代入公式时，所求得的 \(N\) 就是工作机在这一时刻的即时输出功率。

2. **平均功率**：如果以工作机在某段时间内的平均牵引力和平均速度代入公式，所求得的 \(N\) 就是工作机在这段时间内的平均输出功率。

### 输出功率的规律

根据上述公式，可以得出以下两条规律：

1. **牵引力一定时，输出功率与速度成正比**：
   - 在牵引力一定的情况下，工作机的速度越快，输出功率就越大。例如，汽车在牵引力不变的情况下，行驶速度越快，输出功率也随之增加。

2. **输出功率一定时，牵引力与速度成反比**：
   - 当输出功率固定时，牵引力的增加会导致速度的减小；反之，要增加速度，就必须减小牵引力。例如，在上坡时，卡车需要更大的牵引力，但由于输出功率的限制，速度必须减小。

### 例题分析

#### 例题 3.8

**题目**：上海牌正-380型32吨自卸卡车的最大输出功率为400马力，问当它的速度达到45公里/小时时，最大牵引力有多大？

**解**：
- 最大功率 \(N = 400\) 马力 = \(400 \times 76\) kg·m/s = 30400 kg·m/s
- 车速 \(V = 45\) km/h = \( \frac{45 \times 1000}{3600} \) m/s = 12.5 m/s

根据功率的计算公式：

$$
N = F \cdot V
$$

可以得到牵引力 \(F\)：

$$
F = \frac{N}{V} = \frac{30400}{12.5} = 2432 \text{ kg}
$$

#### 例题 3.81

**题目**：某自动打桩机的重锤质量为375公斤，工作时每分钟举12次，每次举高1.6米，求它输出的平均功和工作时输出的即时功（假设重锤匀速上升）。

**解**：
- 每次举高的功 \(W = m \cdot g \cdot h\)，其中 \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\)。
- 每分钟的总功 \(W_{\text{total}} = 12 \times W\)。

计算输出的平均功和即时功：

$$
W = 375 \times 9.8 \times 1.6
$$

输出的平均功为：

$$
P_{\text{avg}} = \frac{W_{\text{total}}}{60} \text{ (每分钟)}
$$

即时功可以通过相同的方式计算得出。

### 总结

通过对输出功率的分析，我们可以更好地理解工作机在不同工况下的性能表现，以及如何通过调整牵引力和速度来优化工作效率。