好的，以下是标准的 Markdown 语法，使用 `$$` 和 `$` 来正确显示数学公式：

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### 功率公式与规律

功率的计算公式为：

$$
N = F \cdot v
$$

其中：
• \( N \) 为功率，
• \( F \) 为牵引力，
• \( v \) 为速度。

#### 规律分析：
1. **当牵引力 \( F \) 一定时**，输出功率 \( N \) 与速度 \( v \) 成正比：
   $$
   N \propto v \quad (\text{若 } F \text{ 恒定})
   $$
   例如，汽车在恒定牵引力下，速度越快，输出功率越大。

2. **当输出功率 \( N \) 一定时**，牵引力 \( F \) 与速度 \( v \) 成反比：
   $$
   F \propto \frac{1}{v} \quad (\text{若 } N \text{ 恒定})
   $$
   例如，卡车爬坡时需要更大的牵引力，因此必须降低速度。

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### 例题 3.8

**题目**：  
某 32 吨自卸载重卡的最大输出功率为 400 马力。当速度达到 45 km/h 时，求其最大牵引力。

**解**：  
已知：
• 最大功率 $ N = 400 \, \text{马力} = 400 \times 75 \, \text{kg·m/s} $，
• 速度 $ v = 45 \, \text{km/h} = \frac{45000}{3600} \, \text{m/s} = 12.5 \, \text{m/s} $。

​**​功率计算​**​：
- 公式：$$ N = F \cdot v $$
- 其中：
  - 功率  $N = 400 \, \text{马力} = 400 \times 75 \, \text{kg·m/s}$ ，
  - 速度  $v = 45 \, \text{km/h} = \frac{45000}{3600} \, \text{m/s} = 12.5 \, \text{m/s}$ 。

由功率公式：
$$
F = \frac{N}{v}
$$

代入数据：
$$
F = \frac{400 \times 75}{12.5} = 2400 \, \text{kg}
$$

**结论**：  
卡车的最大牵引力为 **2400 kg**。

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### 例题 3.81

**题目**：  
某自动打桩机的重锤质量为 375 kg，工作时每分钟举升 12 次，每次举高 1.6 m。求其平均输出功率和即时输出功率（假设匀速上升）。

**解**：

1. **平均功率**：
   • 每次做功：
     $$
     W = mgh = 375 \, \text{kg} \times 1.6 \, \text{m} = 600 \, \text{kg·m}
     $$
   • 每分钟总功：
     $$
     W_{\text{总}} = 12 \times 600 = 7200 \, \text{kg·m/min}
     $$
   • 平均功率：
     $$
     N_{\text{avg}} = \frac{7200}{60} = 120 \, \text{kg·m/s} = \frac{120}{75} = 1.6 \, \text{马力}
     $$

2. **即时功率**：
   • 每次举升时间：
     $$
     t = \frac{60}{12} = 5 \, \text{s}
     $$
   • 匀速上升速度：
     $$
     v = \frac{1.6 \, \text{m}}{5 \, \text{s}} = 0.32 \, \text{m/s}
     $$
   • 即时功率：
     $$
     N = F \cdot v = 375 \, \text{kg} \times 0.32 \, \text{m/s} = 120 \, \text{kg·m/s} = 1.6 \, \text{马力}
     $$

**结论**：
• 平均输出功率：**120 kg·m/s**（或 **1.6 马力**），
• 即时输出功率：**120 kg·m/s**（或 **1.6 马力**）。

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### 注意事项
• 单位换算时需统一（如 1 马力 ≈ 75 kg·m/s）。
• 公式中的物理量需明确其含义（如 \( F \) 是牵引力，\( v \) 是速度）。